“EVOLUCION
HISTORICA DEL CALCULO DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS GEOMETRICOS”
AREA Y
VOLUMEN A TRAVES DE LA HISTORIA
La historia del inicio de la geometría, es muy
similar a la historia del origen de la aritmética, siendo esta una consecuencia
de aplicaciones en actividades prácticas, es decir, la geometría nace en el
intento de dar soluciones a problemas de la vida cotidiana. El primer
acercamiento del hombre a la geometría fue a partir de observaciones realizadas
a su entorno natural, descubriendo de este modo las primeras formas
geométricas.
Herodoto (historiador y geógrafo
griego considerado como el padre de la historiografía) atribuyó el
descubrimiento de la geometría a los egipcios, ya que, según él, ellos
necesitaban medir constantemente la superficie de sus tierras debido a que los desbordamientos
anuales del río Nilo borraban continuamente las señales que limitaban los
terrenos de los agricultores, es decir el rio al desbordarse borraba las
fronteras de sus tierras. De hecho, la palabra geometría proviene del griego
geo (tierra) y métrica (medida), es decir medición de la tierra.
En Egipto el cálculo desarrollado en
el área de la geometría se centró principalmente en el cálculo de áreas y
volúmenes, sin embargo el desarrollo geométrico carece de demostraciones
formales.
Después de ver las grandes
construcciones que se llevaron a cabo en el antiguo Egipto podríamos esperar un
estudio muy avanzado de la geometría, no obstante las únicas fuentes que podemos
analizar son el papiro Ahmes y el papiro de Moscú. Con los datos obtenidos de
estos dos papiros no se han podido descubrir aspectos especiales de la geometría,
siendo los aspectos que más resaltan, algunos datos que les permitieron
calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos considerados muy básicos. Los
cálculos, aunque incorrectos si son lo suficientemente aproximados para cubrir
las necesidades de la vida cotidiana. Por otro lado, no existe distinción entre
los cálculos exactos y los cálculos aproximados, por lo que es difícil entender
si ellos consideraban todos sus cálculos como exactos o sencillamente no se planteaban la posibilidad
de que existiera algún error cometido, algunos de estos errores son realmente
importantes, pero quizá fuese el hecho de haber aprendido a realizar los
cálculos sin demostraciones de ningún tipo y sin cuestionar sus procedimientos
y resultados lo que les llevaba a cometer estos errores.
En
primer lugar hay que tener en cuenta que hasta la llegada de los griegos, al
igual que en Babilonia, no existía una separación de contenidos entre la geometría
y la aritmética, o en la matemática en general, y todas las ramas se englobaban
dentro de una misma limitándose a aplicar la aritmética al cálculo de áreas,
volúmenes y cualquier otro tipo de problema geométrico que se les presentase.
En los muros del templo de Edfu
aparece este método, que consistía en obtener el área de una figura de cuatro
lados multiplicando entre si las semisumas de las longitudes de lados opuestos.
Se dice que para calcular el área de un campo de lados a, b, c, d, siendo a, b
y c, d los lados opuestos, se siga la siguiente regla:
En el papiro Ahmes podemos observar que para
realizar el cálculo de áreas, los egipcios tendían a intentar convertir la
figura analizada en “algo similar a una de las figuras conocidas” ya que este
método permitía obtener el área buscada. De hecho este fue el método que
emplearon para calcular el área del círculo, el cual quizá fue uno de los
primeros pasos hacia las demostraciones geométricas y un intento para encontrar
las relaciones existentes entre las figuras geométricas, lamentablemente se
quedó ahí, en los primeros pasos.
Según Ahmes, se puede calcular el área de un triángulo
dividiendo su base por la mitad y multiplicando el resultado obtenido por la
altura de dicho triángulo. Aunque si bien en el papiro el escriba no empleó los
términos base o altura para expresarse, pero por la figura y la explicación que
da entendemos la figura como un triángulo isósceles. Ahmes justifica los
cálculos realizados afirmando que el triángulo se puede descomponer en dos
triángulos rectángulos, de modo que el desplazamiento de uno de ellos da lugar
a un rectángulo con lados de la misma longitud que el triángulo que se tenía
inicialmente.
En el papiro Ahmes se describe el triángulo
como: “un pedazo de tierra de una cierta anchura en un extremo y que llega a un
punto”. En Ahmes cuando se habla de altura en verdad se emplea un término
genérico conocido como “línea”, afirmando que debe multiplicarse la base por la
línea. No queda claro si en verdad el escriba se refería a la altura o a uno de
sus lados.
En el mismo papiro podemos ver que en el problema
52 se trata el cálculo del área de un trapecio isósceles cuya base mayor
mide 6 unidades, la base menor mide 4 unidades y la “distancia” es de 20
unidades. Para resolverlo calculan la semisuma de las bases con la intención de
transformarlo en un rectángulo y esta semisuma la multiplican por la
“distancia”.
Quizás sea el cálculo del área del círculo la
parte de la geometría egipcia de la que más se ha escrito, dado que ha sido
para muchos el mayor éxito de los escribas egipcios y también por todo el
misterio que implica al número pi. El sistema que ellos empleaban consistía en
sustraer un noveno del
diámetro de la circunferencia y calcular la superficie del cuadrado
correspondiente, lo que nos da u valor para pi de 3,1605, esta información podemos
encontrarla en el papiro Rhind en el problema
50 en el cual Ahmes acepta que el área de un circulo de diámetro nueve es
la misma que la de un cuadrado de lado ocho. El valor obtenido por ellos para
pi resulta ser una muy buena aproximación para el valor real el cual es
aproximadamente 3,1416. Teniendo en cuenta el hecho de que los escribas
egipcios no consideraban el valor de pi como una constante no se sabe en la
actualidad que fue lo que los llevo a obtener la aproximación ya mencionada, aunque
se ha considerado que en el problema 48 se encuentra la respuesta a esta
incógnita. En este problema Ahmes construye un octógono a partir de un cuadrado
de lado nueve unidades. Mediante una serie de cálculos llegaron a la conclusión
de que el área de un octógono es aproximada al área del círculo de diámetro
nueve.
Otro hecho notable del
trabajo realizado por los egipcios además de la buena aproximación obtenida
para el valor de pi es la siguiente afirmación: “la razón entre
Existen numerosas leyendas en torno a las relaciones geométricas
existentes en la construcción de las pirámides. Probablemente la más llamativa
y conocida es aquella en la que se afirma que el perímetro de la base de la
pirámide coincide con el diámetro de una circunferencia cuyo radio es la altura
de dicha pirámide. Esta relación es efectivamente cierta con una muy buena
aproximación para el valor de pi, ya que la razón del perímetro y la altura es
de:
que nos da un valor para pi de 3.1429 y
no el valor de 3.1605 que aparece en los papiros y que sabemos por los mismos
que era el valor que empleaban. Estas afirmaciones en torno al valor de pi solo
son especulaciones, dado que los escribas egipcios no empleaban a pi como un
valor constante y posiblemente el propio concepto y su relación con el círculo
les era algo desconocido, ya que no lo aplicaban por ejemplo al calcular el
volumen de un cilindro.
Del
mismo modo que la división de las superficies para repartir los terrenos generó
la necesidad de conocer el cálculo de diversas superficies, el almacenamiento
del grano, dio lugar al cálculo de volúmenes de graneros tanto rectangulares
como circulares. El cálculo de estos volúmenes dependía igual que en la
actualidad de la base elegida para edificar los graneros.
El caso del cálculo del
volumen de los graneros de base rectangular aparece en el problema 44 del
papiro de Rhind, existen otros problemas similares los cuales son el problema
45 del mismo papiro y los problemas 30 y 32 del papiro de Kahún. Las
resoluciones planteadas en todos los problemas encontrados llevan a deducir que
conocían la fórmula del volumen para un granero de base rectangular tal y como
la conocemos ahora:
Donde
a y b son los lados de la base de la pirámide de base rectangular y h la altura
de esta.
En particular el cálculo del volumen
de una pirámide lo obtenían de la formula anterior considerando a = 0
Así como aparecen en los papiros métodos para calcular el volumen del
tronco de una pirámide, existe también un método para calcular el volumen de un
cono truncado, esta es la siguiente:
Donde
h corresponde a la altura del cono truncado, D el diámetro del círculo más
grande y d el diámetro del círculo más pequeño.
Lógicamente no existe en los papiros
una formulación tal como se ha expuesto anteriormente, sino que se explican los
casos con ejemplos donde se dice “divide 18 entre 12, suma 7 y 4, etc.” El
método visto para calcular el volumen de un cono truncado supone considerar un
valor para pi de 3, en comparación al valor encontrado de 3,1605 empleado en el
cálculo de áreas, lo cual supone un error considerable que nos lleva a pensar
en el empleo de métodos empíricos para llegar a tales conclusiones, puesto que
lo que si podemos afirmar es que no se empleaba pi como constante, por lo que
hemos de deducir que tampoco conocían su relación con el perímetro o el área
del círculo.
No se conoce el cómo los antiguos
egipcios pudieron llegar a estos resultados, se ha afirmado que podría tener su
origen en métodos experimentales, pero desde luego no es un método que resulte
fácil. Para el cálculo del volumen del tronco de pirámide parece más viable que
descompusieran el tronco en cuerpos más sencillos como lo son prismas, pero
ciertamente no existen indicios que lo demuestren ya que no hay vestigios de
aquello, por lo que aparentemente el uso de la geometría basada en
descomposiciones no parece haber prosperado en el antiguo Egipto y esto
deducido de los métodos que empleaban para el cálculo de áreas de triángulos y
trapecios.
A pesar de que según Herodoto, la
geometría se desarrolló ante la necesidad de recalcular las lindes tras las
inundaciones del rio Nilo, no parece que sea enteramente así. Indudablemente
esta era una de las aplicaciones más importantes pero desde luego no era la
única. Los babilonios por ejemplo tenían una geometría muy similar a la
desarrollada en Egipto y sin embargo no tenían la necesidad de agrimensura.
Los babilonios utilizaban para calcular áreas y
volúmenes muchas fórmulas más o menos exactas. Para calcular el área de un
cuadrilátero realizaban la multiplicación
entre las medias aritméticas de los pares de lados opuestos al igual que los
egipcios. Para realizar el cálculo del volumen del cono truncado desarrollaron
la siguiente formula:
Donde a y b corresponden a las áreas de los
círculos de las bases. Para el tronco de una pirámide emplearon la siguiente
formula:
Donde
a y b corresponden a los lados del rectángulo de la base de la pirámide y h
corresponde a la altura de esta.
El cálculo realizado para obtener el
volumen de un cilindro era tal y como lo conocemos el día de hoy, con una
diferencia, multiplicando el área de la base por la altura, la diferencia la
encontramos en el método que empleaban para realizar el cálculo del área del
círculo.
El
cálculo realizado para obtener el área de la base es correcto considerando un
valor aproximado de pi a 3. En esta fórmula h corresponde a la altura del
cilindro y
el
área de la base, y d el diámetro del circulo de la base del cilindro.
Si nos trasladamos a la cultura
India podemos notar que dada su costumbre de transmitir sus conocimientos
verbalmente se ha dificultado enormemente la investigación del origen de la
geometría en su territorio. Los pocos indicios encontrados nos señalan que los
hindúes conocían la construcción de figuras como cuadrados, círculos y
triángulos entre otros, sabían calcular áreas empleando conceptos de semejanza
y proporción con procedimientos muy similares al empleado por Thales de Mileto.
Podían calcular el volumen de cuerpos sencillos como prismas y tenían un método
para el cálculo del volumen del tronco de pirámide, con elementos propios de la
cultura babilónica lo cual indica una fuerte influencia de esa cultura.
En China,
el emperador Qin Shi Huang (Shi
Huang-ti) ordenó en el 212 a. C. que
todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue
obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca
de la matemática en la China ancestral.
Desde
la Dinastía Zhou,
a partir del 1046 a. C.,
el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I
Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos,
matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas
enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente
(véase Secuencia del Rey Wen).
La
obra más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista,
hacia el 330 a. C.,
recopilado por los acólitos de Mozi(470-390
a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos
relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas.
Después de la quema de libros,
la dinastía Han (202 a.C - 220 d.C) produjo obras
matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La
más importante de estas es Los nueve capítulos
sobre el arte matemático, cuyo título completo apareció hacia el
179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La
obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura,
negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas,
ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre
volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en
Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y
una formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu
Hui hizo
un comentario de la obra hacia el siglo III d. C.
En el siglo tercero después de
nuestra era vivió Liu Hui quien comento los nueve capítulos y calculó para pi
un valor de 3,14 utilizando un polígono regular de 96 lados, posteriormente
calculó pi con un valor de cinco cifras decimales correctas 3,14159 utilizando
un polígono de 3072 lados.
Las obras matemáticas del Han
astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 D.C.) contenían una formulación para pi
también, la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula
de pi para encontrar volúmenes esféricos.
Zu Chongzhi (siglo V) de las
Dinastías del Sur y del Norte calculó el valor de π hasta siete lugares
decimales, lo que daba lugar al valor de π más exacto durante casi 1000 años.
Como hemos podido apreciar, en la
antigüedad distintas culturas intentaron dar respuesta al problema del cálculo
del volumen de distintos cuerpos geométricos, sin embargo no es hasta los
siglos VI y IV antes de cristo que floreció en Grecia la escuela científica y
filosófica más importante de su época ya que es aquí donde se comienza a
formalizar el conocimiento geométrico, ya que los griegos no se limitaron a
observar algunas relaciones interesantes entre los números y las figuras
geométricas o a usarlas en sus mediciones y construcciones para resolver
problemas de cálculo, sino que fueron los primeros en darse cuenta de la
importancia de encontrar enunciados generales y demostrarlos. Elaboraron así
con el paso del tiempo, una geometría independiente de los casos concretos,
construyeron el primer sistema de matemáticas puras, matemáticas que se han
empleado hasta nuestros días.
La
geometría fue la primera rama de las matemáticas y se consolido gracias, fundamentalmente
al trabajo de Euclides, quien en su obra titulada “Los Elementos” reunió todo
el conocimiento matemático de su época, lo organizo, y lo más importante, lo
formalizó.
Se realizaron importantes aportes
para el cálculo del volumen de cuerpos como prismas y pirámides, cuyas formulas
son las siguientes:
Donde A sub b es
el área de la base y h es la altura del cuerpo correspondiente, si bien es
cierto que otras civilizaciones habían obtenido formulas acertadas para estos tipos
de cuerpos en algunos casos, fueron los griegos los primeros en formalizarlos.
En la antigua Grecia (287-212 antes
de Cristo) aparece un personaje muy importante en la historia del cálculo del
volumen de los cuerpos geométricos, Arquímedes de Siracusa, quien es famoso por
el origen de la palabra ¡Eureka!, cuenta la historia que Arquímedes pronunció
esta palabra tras descubrir que el volumen de agua ascendido era igual al
volumen del cuerpo sumergido. Esto le llevó la solución al problema de medir el
volumen de cuerpos irregulares y le permitió saber si la corona del rey Hierón
II estaba hecha de oro puro al calcular su densidad a partir de la masa ya
conocida. Este descubrimiento lo habría realizado mientras se encontraba
sumergido en la bañera y tal fue su alegría que salió corriendo a las calles de
Siracusa desnudo y gritando ¡Eureka! (‘¡Lo he descubierto!’). Si bien este
descubrimiento fue muy importante no es el único descubrimiento que podemos
atribuirle en torno al tema que nos convoca, ya que él es también responsable
de una aproximación de pi por exceso y por defecto y por ende dado que el
cálculo del volumen de cuerpos redondos como son el cilindro y el cono están
directamente relacionadas con el numero pi, entonces podemos relacionarlos a
Arquímedes, las fórmulas para calcular dichos volúmenes son:
Donde
r es el radio y h corresponde a la altura. Luego fue Arquímedes quien a partir
del volumen del cono y diversos cálculos pudo obtener el volumen de la esfera:
Lo
cual corresponde a cuatro veces el volumen de un cono que tiene por base el
círculo máximo de la circunferencia y de altura el radio de la misma.
Además introduciendo una esfera en
un cilindro de igual radio descubrió las relaciones entre las áreas y los
volúmenes de ambos cuerpos, empleando sus propias palabras: “cualquier cilindro
que tenga como base el circulo máximo de una esfera y la misma altura que la
esfera tiene por volumen una vez y media el de la esfera”
Para
obtener esta relación Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y
colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de
radio también R:
Esta imagen muestra como realizo Arquímedes el trabajo que lo llevó a obtener la relacion entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro
Cortó
las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a
distancia de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían
las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:
- Cilindro: circunferencia
de radio R.
- Semiesfera: también una
circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la
siguiente figura
y
usando el teorema
de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.
- Cono: también una
circunferencia, pero ahora, como podemos se ve aquí
El
radio es d.
Por
tanto tenemos:
Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección
semiesfera+Sección cono
Las
secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:
Si
para cada rebanada se tiene la relación anterior parece bastante claro que los
volúmenes siguen la misma relación. Es decir:
Volumen cilindro = Volumen semiesfera + Volumen cono
Pero Arquímedes conocía los
volúmenes del cilindro y del cono:
De donde multiplicando por 2
obtenemos el volumen de una esfera de radio R:
Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento
que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:
Después
de Arquímedes pasaron muchos años hasta que aparecieron nuevos planteamientos
respecto al cálculo del volumen de los cuerpos geométricos. Si bien es cierto durante
el siglo anterior a Newton y Leibniz, los trabajos de los matemáticos griegos
se hicieron populares, especialmente los trabajos de Arquímedes. Se
desarrollaron técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes. Kepler
fue uno de los matemáticos que contribuyeron a estos desarrollos. De un modo
anecdótico podemos decir que su interés por el cálculo de áreas y volúmenes
surge a partir de un incidente que ocurrió cuando se casó por segunda vez.
Kepler había comprado un barril de vino para su boda y el procedimiento que
empleó el mercader de vino para medir el volumen del barril enfadó a Kepler. A
partir de este incidente, estudió cómo calcular áreas y volúmenes de diferentes
cuerpos, especialmente cuerpos de revolución, y escribió un libro sobre el
tema. Ésta fue su principal contribución al origen del cálculo integral.
Kepler estudió los trabajos de
Arquímedes y escribió un libro (publicado en 1615): "Nova Estereometría
doliorum vinariorum" (Nueva Geometría sólida de los barriles de vino).
Es un trabajo sistemático en el que
se usan técnicas infinitesimales para el cálculo de áreas y volúmenes. Se
concentra en los sólidos de revolución e incluye el cálculo (exacto o
aproximado) de más de noventa sólidos. Actualmente usamos cálculo integral para
resolver este tipo de problemas.
En su trabajo, Kepler desarrolla los
procedimientos de Arquímedes (aunque en su tiempo no se conocía "El
Método" de Arquímedes, pues estaba perdido) El enfoque de Kepler en su
estereometría es diseccionar un sólido en un número infinito de piezas infinitesimales,
o sólidos "indivisibles", de una forma y tamaño conveniente a la
solución de cada problema particular. Entonces suma todos esos indivisibles de
alguna manera para obtener el área o volumen de la figura dada.
Los elementos infinitesimales de
Kepler tienen la misma dimensión que el cuerpo que quiere medir. Si quiere
calcular un área, suma elementos área y si quiere calcular un volumen considera
elementos infinitesimales con volumen.
"Pensó
en el volumen de un barril, como el de cualquier otro cuerpo, como formado por
numerosas hojas finas adecuadamente dispuestas en capas, y considera el volumen
del barril como la suma de los volúmenes de estas capas, siendo cada una de
ellas un cilindro."
Veinte años después de la
publicación de la Estereometría doliorum de Kepler se publicó un libro en
Italia que rivalizó con él en popularidad: Geometría indivisibilibus de
Bonaventura Cavalieri (1635)
En este libro, el matemáticos
italiano usó lo que ahora conocemos como Principio de Cavalieri: Si dos sólidos
tienen las alturas iguales y si las secciones hechas por planos paralelos a las
bases a la misma distancia de la base están en una determinada proporción,
entonces los volúmenes de los sólidos están también en esa proporción.
El
Principio de Cavalieri se conoce también como el método de los indivisibles.
"Cavalieri hizo de la noción de indivisible la base de un método
geométrico de demostración. No explicó precisamente lo que entendía por la
palabra indivisible que empleó para caracterizar los elementos infinitesimales
que usó en su método. Cavalieri concibió una superficie como formada por un
número indefinido de líneas paralelas equidistantes y un sólido como compuesto
por planos paralelos equidistantes, y designa estos elementos los indivisibles
de la superficie y del volumen respectivamente." (C.H. Edwards)
Zu Geng, que nació hacia el año 450,
fue un matemático chino que usó lo que conocemos como el Principio de Liu Hui y
Zu Geng para calcular el volumen de una esfera. La teoría de Liu-Zu es
equivalente al Principio de Cavalieri. Es decir, matemáticos chinos han usado
este principio más de mil años antes que Cavalieri.
Una aplicación bien conocida del
Principio de Cavalieri nos permite calcular el volumen de una esfera. Podemos
comparar el área de una sección de un hemisferio y el área de una sección de un
cuerpo que es un cilindro menos un cono. Estas dos áreas son iguales. Entonces
los dos cuerpos tienen el mismo volumen. Es fácil calcular el volumen de este
segundo cuerpo, y así obtenemos el volumen del hemisferio.
El método de Cavalieri es diferente
al de Kepler en dos aspectos importantes:
"En primer lugar, Cavalieri
procede estableciendo una correspondencia uno a uno entre los elementos
indivisibles de dos figuras geométricas dadas. Si los indivisibles
correspondientes de estas dos figuras están en una cierta proporción
(constante), entonces concluye que las áreas o volúmenes de las figuras están
en la misma proporción. Típicamente, el área o volumen de una de las figuras se
conoce por adelantado y así obtenemos el de la otra.
En segundo lugar, Kepler considera
una figura geométrica compuesta por indivisibles de la misma dimensión. Sin embargo,
Cavalieri generalmente considera una figura geométrica compuesta por un número infinitamente
grande de indivisibles de dimensión menor. Un área está formada por segmentos
paralelos y equidistantes y un volumen consiste en secciones planas paralelas y
equidistantes.
Cavalieri hace de la noción de
indivisible la base de su método geométrico de demostración. No explicó que
entendía precisamente con la palabra indivisible que él empleó para
caracterizar los elementos infinitesimales que usa en su método. Cavalieri
concebía una superficie como formada por un número indefinido de líneas
paralelas equidistantes y un sólido como compuesto por planos paralelos
equidistantes, y estos elementos eran designados los indivisibles de la
superficie y del volumen respectivamente."
